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任取一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，將其除以2。如果是奇數(shù)，將其乘以3再加1，然后重復(fù)這個(gè)過程，最后結(jié)果都是1。
這個(gè)問題就是著名的“克拉茨猜想”。它幾乎可以說是數(shù)學(xué)史上未解問題中表達(dá)形式最簡(jiǎn)單的一個(gè)，也因此成為數(shù)學(xué)這棵參天大樹上最誘人的那顆果實(shí)。
不少資深數(shù)學(xué)家警告稱，這個(gè)問題簡(jiǎn)直有毒，堪稱魅惑十足的“海妖之歌”：你走進(jìn)來就再也出不去，再也無力做出其他任何有意義的成果。密歇根大學(xué)數(shù)學(xué)家、克拉茨猜想問題專家Jeffrey Lagarias表示：“這是一個(gè)危險(xiǎn)的問題，很多人為其如癡如醉，但目前看真的不可能解決。”
但不信邪的人總是有的。陶哲軒就是其中之一，他已經(jīng)取得了迄今為止在克拉茨猜想問題上走的最遠(yuǎn)的成果。
9月8日，陶哲軒在個(gè)人博客上貼出了一份證明，表明了至少對(duì)絕大部分自然數(shù)，克拉茨猜想都是正確的。盡管這份證明算不上是完整證明，但已經(jīng)算是在這個(gè)堪稱“有毒”的問題上取得的重大進(jìn)展。
“我沒指望能完全解決這個(gè)問題，但目前取得的進(jìn)展已經(jīng)超出了我的預(yù)期。”陶哲軒說。
克拉茨猜想：最簡(jiǎn)單的“不可能解決”的問題
克拉茨猜想據(jù)稱是上世紀(jì)30年代由德國(guó)數(shù)學(xué)家Lothar Collatz提出的。但其具體出處不詳，已知的，從西拉古斯大學(xué)大學(xué)傳到貝爾實(shí)驗(yàn)室，再到芝加哥大學(xué)。因早期有眾多的傳播者，所以在傳播過程中，克拉茨猜想收獲了許多名字：3n+1猜想、奇偶?xì)w一猜想、烏拉姆(Ulam)問題、角谷猜想等。
其表述形式之簡(jiǎn)單讓它聽起來像是聚會(huì)上的一個(gè)游戲。對(duì)于任何一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則將其乘以3并加1。如果是偶數(shù)，則將其除以2。不斷重復(fù)這個(gè)過程，最后會(huì)發(fā)生什么？
直覺上看，你可能會(huì)覺得最開始的數(shù)字不同會(huì)影響最終得到的結(jié)果。也許某些數(shù)字為開端，最后的結(jié)果是1，而以另外一些數(shù)字為開端，則會(huì)趨于無窮大。
但是克拉茨預(yù)測(cè)并非如此。他推測(cè)，如果最開始的數(shù)是正整數(shù)，重復(fù)這個(gè)過程的次數(shù)足夠多，則無論最開始的數(shù)是多少，最終結(jié)果都將是1。這之后，1成為初始數(shù)，會(huì)陷入循環(huán)：1、4、2 、1、4，2，1……
多年以來，許多人都對(duì)克拉茲猜想的表述之簡(jiǎn)單（該猜想又被稱為著名的“ 3x +1問題”）而對(duì)這個(gè)問題深深著迷。目前，數(shù)學(xué)家們測(cè)試了幾百億億個(gè)數(shù)，結(jié)果克拉茨猜想全部是正確的。
“這個(gè)問題看上去沒有任何理解門檻，你只要知道‘乘以3’和‘除以2’，就可以完全理解。數(shù)學(xué)家馬克·錢伯蘭（Marc Chamberland）說，誘人之處正在于此。Chamberland曾經(jīng)自制了一段關(guān)于該問題的YouTube熱門視頻，稱這個(gè)問題為“最簡(jiǎn)單的不可能解決的問題”。
以下是一個(gè)克拉茨猜想驗(yàn)證網(wǎng)頁，大家可以自己試試。
https://www.dcode.fr/collatz-conjecture
雖然克拉茨猜想的表述和理解都非常簡(jiǎn)單，但嚴(yán)格證明卻非常困難。
上世紀(jì)70年代，數(shù)學(xué)家證明，幾乎所有的克拉茨數(shù)列，即重復(fù)克拉茨猜想的計(jì)算過程中得到的數(shù)列，最后得到的數(shù)字都將小于第一個(gè)數(shù)字，顯然這是個(gè)不完全證明。但也有證據(jù)表明，幾乎所有克拉茨數(shù)列的最終值都在向1靠近。
從1994年以來，一直到陶哲軒今年取得新進(jìn)展之前，Ivan Korec保持著對(duì)這個(gè)問題證明的最佳記錄，數(shù)列的最終值在逐步變小。但距離問題的核心仍然有很大距離。
隨著時(shí)間的推移，很多數(shù)學(xué)家得出這樣的結(jié)論，即：克拉茨猜想證明問題完全超出了當(dāng)前的理解范圍，因此最好將精力花在其他問題上，因?yàn)樵倮^續(xù)下去也是徒勞。
南卡羅來納大學(xué)的喬舒亞·庫珀在一封電子郵件中說：“克拉茨猜想是一個(gè)眾所周知的難題，以至于數(shù)學(xué)家傾向于在每次討論前都加上一個(gè)警告，以免浪費(fèi)時(shí)間對(duì)它進(jìn)行研究。”
意外的提示：陶哲軒從匿名網(wǎng)友留言獲啟發(fā)
早在40年前，Lagarias就對(duì)這個(gè)猜想深感興趣，當(dāng)時(shí)他還是一個(gè)學(xué)生。幾十年來，他一直充當(dāng)克拉茨猜想問題非官方信息收集人。他整理了與該問題相關(guān)的論文庫，并于2010年以《極限挑戰(zhàn)：3x+1問題》為題將其中一些論文成集出版。
Lagarias說：“現(xiàn)在，在我對(duì)這個(gè)問題有了更多了解之后，我仍然覺得它是不可能解決的。”
陶哲軒通常不會(huì)在“不可能解決”的問題上浪費(fèi)時(shí)間。2006年，他獲得了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最高榮譽(yù)“菲爾茲獎(jiǎng)”，被廣泛認(rèn)為是年輕一代中最杰出的數(shù)學(xué)家之一。他習(xí)慣于解決問題，而不是追逐夢(mèng)想。
陶哲軒曾說：“數(shù)學(xué)家這個(gè)頭銜實(shí)際上對(duì)職業(yè)生涯是有害的。它可能導(dǎo)致一個(gè)人沉迷于一些重量級(jí)問題，這些問題超出了任何人的能力，會(huì)浪費(fèi)很多時(shí)間。”
但陶哲軒也不是完全不碰這些問題。每年，他都會(huì)選擇一個(gè)尚未解決的著名問題中嘗試一兩天。多年來，他為解決克拉茨猜想問題作了幾次嘗試，但都沒有成功。
今年8月，一位匿名讀者在他的個(gè)人博客上發(fā)表了評(píng)論，建議他嘗試去解決“幾乎所有”數(shù)字的克拉茨猜想，而不是嘗試完全解決。
陶哲軒說：“我沒有回復(fù)，但這條留言確實(shí)讓我再次考慮了這個(gè)問題。”
他意識(shí)到，Collatz猜想在某種程度上類似于一種方程式的形式，即偏微分方程，他正是這個(gè)領(lǐng)域取得了職業(yè)生涯中一些最重要的成果。
輸入和輸出：來自偏微分方程的啟示
偏微分方程可以用于模擬宇宙中許多最基本的物理過程，例如流體的演化或重力在時(shí)空中的波動(dòng)。它們發(fā)生在系統(tǒng)的未來位置（例如將石頭扔進(jìn)池塘后五秒鐘的狀態(tài)）取決于兩個(gè)或多個(gè)因素（例如水的粘度和速度）的影響的情況下?？瓷先?，復(fù)雜的偏微分方程似乎與克拉茨猜想這樣的簡(jiǎn)單算術(shù)問題無關(guān)。
但陶哲軒意識(shí)到，二者之間有相似之處。使用偏微分方程，也可以插入一些值，獲取其他值，再重復(fù)這一過程。所有這些都是為了了解系統(tǒng)的未來狀態(tài)。對(duì)于任何給定的偏微分方程，數(shù)學(xué)家都想知道，某些初始值最終會(huì)導(dǎo)致無窮大的輸出值，還是會(huì)產(chǎn)生有限值，而不管以什么值作為開頭。
在陶哲軒看來，偏微分方程和克拉茨猜想具有相同的風(fēng)格。因此，他認(rèn)為研究偏微分方程的思路也可以應(yīng)用于克拉茨猜想的證明。
一種特別有用的技術(shù)涉及一種統(tǒng)計(jì)方法，可以用于研究少量初始值（例如，池塘中水的少量初始配置）的長(zhǎng)期行為，并以此出發(fā)推斷所有可能初始設(shè)置下的長(zhǎng)期行為。
如果引申到克拉茨猜想上，可以理解為從大量數(shù)字樣本開始，目標(biāo)是研究在應(yīng)用克拉茨流程時(shí)這些數(shù)字的行為。如果樣本中接近100％的數(shù)字最終恰好等于1或非常接近1，您可能會(huì)得出結(jié)論，幾乎所有數(shù)字的行為方式都是相同的。
但是要使結(jié)論正確，必須非常仔細(xì)地構(gòu)建樣本。就像在總統(tǒng)選舉中構(gòu)建選民樣本一樣。為了從民調(diào)中準(zhǔn)確地推斷出整個(gè)人口的投票意愿，需要以正確比例對(duì)共和黨人、民主黨人，以男女同等的權(quán)重對(duì)樣本進(jìn)行加權(quán)。
數(shù)字具有自己的“人口統(tǒng)計(jì)學(xué)”特征。比如存在奇偶性、是3的倍數(shù)，或者數(shù)字之間通過其他微妙的方式體現(xiàn)彼此的不同。構(gòu)造數(shù)字樣本時(shí)，可以將其加權(quán)為包含某些種類、但不包含其他種類的數(shù)字。選擇的權(quán)重質(zhì)量越好，就越能得出關(guān)于整體數(shù)字的結(jié)論。
小心探尋數(shù)字加權(quán)，陶哲軒給出克拉茨猜想最強(qiáng)證明
陶哲軒所面臨的挑戰(zhàn)遠(yuǎn)比弄清楚如何用合適的權(quán)重創(chuàng)建一個(gè)初始數(shù)字樣本要困難得多。在Collatz過程的每一個(gè)步驟中，處理的數(shù)字都在變化。一個(gè)明顯的變化是，樣本中幾乎所有的數(shù)字都變小了。
另一個(gè)可能不那么明顯的變化是，這些數(shù)字可能會(huì)開始聚集在一起。例如，你可以從一個(gè)均勻的分布開始，比如從1到100萬的數(shù)字。但是經(jīng)過五次Collatz迭代之后，這些數(shù)字很可能集中在數(shù)軸上的幾個(gè)小區(qū)間內(nèi)。換句話說，你可能一開始有一個(gè)很好的樣本，但是五步之后，它就完全扭曲了。
陶哲軒在一封電子郵件中說：“通常情況下，人們會(huì)認(rèn)為迭代后的分布與最初的分布完全不同。”
陶哲軒的關(guān)鍵見解是找出如何在整個(gè)Collatz過程中選擇一個(gè)很大程度上保持原有權(quán)重的數(shù)字樣本。
例如，陶哲軒的初始樣本加權(quán)后不包含3的倍數(shù)，因?yàn)镃ollatz過程很快就排除了3的倍數(shù)。陶哲軒提出的其他一些權(quán)重更復(fù)雜。他把初始樣本的權(quán)重取為除以3后余數(shù)為1的數(shù)字，而不是除以3后余數(shù)為2的數(shù)字。
結(jié)果是，即使在Collatz過程繼續(xù)進(jìn)行時(shí)，陶哲軒的初始樣本仍然保持其特性。
“他找到了進(jìn)一步推進(jìn)這個(gè)過程的方法，這樣經(jīng)過一些步驟之后，你仍然知道發(fā)生了什么，”Soundararajan說。“當(dāng)我第一次看到這篇論文時(shí)，我非常激動(dòng)，認(rèn)為它非常引人注目。”
陶哲軒使用這種加權(quán)技術(shù)證明了，幾乎所有的Collatz初始值(99%甚至更多)最終都達(dá)到一個(gè)非常接近1的值。這使他能夠得出99%的初始值大于1千萬億的克拉茨數(shù)列，最終結(jié)果小于200的結(jié)論。
可以說，這是該猜想歷史上最強(qiáng)的證明結(jié)果。
Lagarias說：“這是我們對(duì)這個(gè)問題的了解取得的一大進(jìn)步。這肯定是很長(zhǎng)一段時(shí)間以來最好的結(jié)果。”
陶哲軒的方法幾乎肯定不能完全證明克拉茨猜想。原因是他的初始樣本在過程的每一步之后仍然有一點(diǎn)偏斜。只要樣本中仍然包含許多與1相距甚遠(yuǎn)的不同值，則偏差就很小。但隨著Collatz過程仍在繼續(xù)，樣本中的數(shù)字趨近于1，小的偏差效應(yīng)越來越明顯——類比來說，民意調(diào)查中當(dāng)樣本容量很大時(shí)，一個(gè)輕微的誤算影響不大；但當(dāng)樣本量很小時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生較大的影響。
要完全證明這個(gè)猜想，很可能需要另一種方法。因此，陶哲軒的工作既是勝利，也是對(duì)為克拉茨猜想著迷的數(shù)學(xué)家的一種警告：就在你以為自己可能已經(jīng)把問題逼到了絕路的時(shí)候，它卻溜走了。
陶哲軒說：“你可以盡可能接近克拉茨猜想，但要完全證明，目前仍然遙不可及。”
參考鏈接：
https://www.quantamagazine.org/mathematician-terence-tao-and-the-collatz-conjecture-20191211/
陶哲軒博客：
https://terrytao.wordpress.com/2019/09/10/almost-all-collatz-orbits-attain-almost-bounded-values/
論文：
https://arxiv.org/abs/1909.03562
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哥德巴赫猜想?
科學(xué)領(lǐng)域的皇冠??？
為什么要乘3？奇數(shù)加1除2最后不是都等1嗎？這么簡(jiǎn)單的題